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viernes, 29 de abril de 2011

MATERIALES DE MATEMÁTICAS PARA ESO


Problemas de primer ciclo de la ESO de aritmética, álgebra, geometría, análisis y razonamiento matemático.
Tienen tres niveles de dificultad con solución.
Para acceder al materiar pulse sobre la imagen.

No todas las estrategias didácticas mediante las cuales se hemos intentado enseñar a resolver problemas matemáticos nos
han conducido certeramente al objetivo propuesto, al menos no en todos los casos, a
pesar del empeño puesto en su enseñanza. Y también es posible que hayamos
participado de la sensación de incapacidad para responder a situaciones problemáticas
de cierto alumnado que, sintiéndose “fuerte” en matemáticas, descubre grandes
limitaciones en su posibilidad de resolver problemas.
En alguna ocasión nos hemos podido topar con la inquietud del alumno/a que,
interesado/a en aprender, le pregunta a su profesor/a de Matemáticas cómo puede
aprender a resolver problemas, pues creyendo saber Matemáticas (comprende los
contenidos, realiza correctamente los ejercicios), no es capaz de resolver ciertos
“problemas”, aquellos precisamente que se presentan como eso, como problemas.
Enseñar a resolver problemas está íntimamente ligado a lo que llamamos “enseñar a
pensar”, que es, ciertamente, la labor más difícil de la labor docente, aunque, si seguimos
a Miguel de Guzmán (2006), verdadero entusiasta en este cometido, tendremos que
reconocer que detrás de estos llamados fracasos se esconde la falta de un método
adecuado y la ausencia, al lado del aprendiz, de un experto que le guíe.
La bibliografía sobre la materia se ha multiplicado en los últimos años, tanto desde la
vertiente de la Psicología cognitiva como de la Pedagogía constructivista. No
pretendemos profundizar en teorías psicopedagógicas. Vamos únicamente a enunciar
algunas de las estrategias didácticas orientadas a la enseñanza de la resolución de
problemas matemáticos, de la mano de autores muy reconocidos, con el objeto de ofrecer
un elemento de reflexión que enriquezca la acción docente.
APROXIMACIÓN CONCEPTUAL
Deberíamos, previamente, realizar una aproximación conceptual de la cuestión,
respondiendo a esta cadencia de cuestiones:
a) ¿Qué es un problema o, sobre todo, qué no lo es?
b) ¿Qué actividades cognitivas se desarrollan en la resolución de problemas?
c) ¿Qué tipos de conocimientos están involucrados?
d) ¿Puede realmente “enseñarse” a resolver problemas o lo que se trata es de estimular
a que en el alumnado aflore la “chispa” de su ingenio?
Tras ellas seguiría la cuestión central: Si se puede enseñar, ¿cuáles serían las estrategias
didácticas convenientes?
Resumidamente:
a) Problema.
Para Parra (1990) "un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea (o
que se plantea él mismo) dispone de los elementos para comprender la situación que el
problema describe y no dispone de un sistema de respuestas totalmente constituido que
le permita responder de manera inmediata".
b) Actividades cognitivas.
En el contexto escolar, ese disponer de los elementos para comprender la situación que el
problema describe supone que el sujeto que habrá de resolver el problema en cuestión ha
tenido acceso o ha construido aquel conocimiento declarativo ("construir significado:
agregar lo que sabes a lo que estás aprendiendo" (Marzano, 1997 : 13) y el respectivo
conocimiento procedimental (conocimiento ligado a la acción o ejecución) que son
requeridos como antecedente mínimo necesario para poder comprender información,
establecer relaciones y utilizar procedimientos con la finalidad de llegar a resolver el
problema que se le ha planteado.
Monereo (1998) distingue entre procedimientos algorítmicos y procedimientos heurísticos.
Llamamos a un procedimiento algorítmico cuando la sucesión de acciones que hay que
realizar se halla completamente prefijada y su correcta ejecución lleva a una solución
segura del problema o de la tarea. Cuando estas acciones comportan un cierto grado de
variabilidad y su ejecución no garantiza la consecución de un resultado óptimo hablamos
de procedimientos heurísticos.
c) Conocimientos involucrados.
Monereo también apunta un cierto tipo de conocimiento denominado condicional que el
estudiante debe generar para afrontar la resolución del problema. Es un conocimiento que
“el alumno construye para la ocasión o reactualiza parcialmente si las circunstancias
tienen elementos parecidos a los de otra situación en la que se utilizó eficazmente una
estrategia”.
Ahora bien, la generación de este conocimiento condicional es posible cuando el
estudiante desarrolla un sistema de regulación y lo utiliza de manera consciente, reflexiva
y eficaz, lo cual supone, entre otras cosas:
• Un constante ajuste de la actividad cognitiva del sujeto a los cambios y variaciones que
presentan las diversas situaciones problemáticas que se le plantean.
• La decisión de qué conocimientos declarativos y procedimentales hay que recuperar y
cómo hay que utilizarlos para dar respuesta a una situación específica.
• El control del proceso que implica planificar las acciones a realizar, llevarlas a cabo y
evaluar la pertinencia de las mismas en términos de si se logró alcanzar mediante ellas el
objetivo deseado.
d) ¿Es "enseñable" la resolución de problemas matemáticos?
De acuerdo con los planteamientos anteriormente expuestos podemos afirmar que esta
pregunta puede hacerse parcialmente equivalente a la de ¿es posible enseñar
estrategias de aprendizaje?
No sólo debemos responder positivamente, sino constatar que existen cada vez más
proyectos y programas educativos centrados en la enseñanza de las estrategias de
aprendizaje, entre ellos los de Nickerson, Perkins y Smith (1985); Nisbet y Shucksmith
(1986); Presley et al. (1992).
ESTRATEGIAS DIDÁCTICAS
Cada autor ha puesto el acento en unas determinadas estrategias. Vamos a centrarnos
en tres, aunque ya clásicos, de los más seguidos: Polya, Schoenfeld y Kantowsky.
1. Las estrategias de Polya
Para Polya (1957, citado en Resnick, 1990), un problema se resuelve correctamente si se
siguen los siguientes pasos:
- comprender el problema
- concebir un plan para descubrir la solución
- ejecutar el plan y verificar el procedimiento
- comprobar el resultado
Cada una de estas fases requiere una serie de estrategias: responder a algunas
preguntas o realizar actividades específicas:
1º. Comprensión del problema
Responder a estas preguntas:
- ¿Cuál es la incógnita?
- ¿Cuáles son los datos?
- ¿Cuáles son las condiciones?
- ¿Es posible cumplir las condiciones?
- ¿Son suficientes las condiciones para hallar la incógnita?
- ¿O son insuficientes?
- ¿O son redundantes?
- ¿O son contradictorias?
Realizar estas actividades:
- Dibuje una figura
- Adopte una notación adecuada
- Separe las diferentes partes de las condiciones
- ¿Puede ponerlas por escrito?
2º. Concepción de un plan
Descubra las relaciones entre los datos y la incógnita. Puede verse obligado a tomar en
cuenta problemas auxiliares si no encuentra una relación inmediata. Deberá llegar a tener
un plan de resolución, y para ello ayudará responder a estas preguntas:
¿Se ha encontrado antes con el problema?
¿Lo ha visto antes de forma diferente?
¿Conoce algún problema relacionado?
¿Conoce algún teorema que pueda ser útil?
También pueden ser pertinentes estas estrategias:
Mire la incógnita e intente recordar algún problema familiar que tenga una incógnita igual
o parecida. Se trata de hacer suyo el problema, relacionarlo con la experiencia personal.
He aquí un problema relacionado con el suyo, y que se ha resuelto antes. En tal caso
trate de responder:
¿Podría utilizarlo?
¿Podría utilizar su resultado?
¿Podría utilizar su método?
¿Debería introducir algún elemento auxiliar que pueda utilizar?
¿Podría replantear el problema?
¿Podría volverlo a replantear de otra forma diferente todavía?
Vuelva al planteamiento original.
Si no puede resolver el problema propuesto, intente resolver primero algún problema que
se relacione con el mismo. Las siguientes cuestiones le ayudarán:
¿Podría imaginarse algún problema más sencillo, relacionado con este?
¿Algún problema más general?
¿Algún problema más particular?
¿Algún problema análogo?
¿Podría resolver alguna parte del problema?
Mantenga sólo una parte de las condiciones, abandone la otra parte:
¿Hasta qué punto se determina entonces la incógnita?, ¿cómo puede variar?
¿Podría extraer algo práctico a partir de los datos?
¿Podría pensar en otros datos adecuados para hallar la incógnita?
¿Podría cambiar la incógnita, o los datos, o las dos cosas si hace falta, para que la
incógnita esté más próxima a los datos nuevos?
¿Ha utilizado todas las condiciones?
¿Ha tenido en cuenta todos los conceptos esenciales que intervienen en el problema?
3º. Ejecución del plan
Cuando lleve a cabo su plan de resolución, compruebe cada paso:
¿Puede ver claramente que el paso es correcto?
¿Puede demostrar que es correcto?
4º. Verificación de la solución
Examine la solución obtenida. Conteste:
¿Puede comprobar el resultado?
¿Puede comprobar el razonamiento?
¿Puede extraer el resultado de otra manera?
¿Puede percibirlo a primera vista?
¿Puede utilizar el resultado, o el método, para algún otro problema?
Otras estrategias:
Además, Polya propuso el empleo de diversos métodos heurísticos tales como:
descomponer el problema en subproblemas más simples
usar diagramas o gráficas
trabajar el problema hacia atrás.
2. Las estrategias de Schoenfeld
Schoenfeld (Santos, 1992) se dedicó desde 1985 a proponer actividades de aprendizaje
en el aula; su interés se centraba en la necesidad de propiciar situaciones similares a las
condiciones que los matemáticos experimentan en el proceso del desarrollo de las
matemáticas. Asume una postura de novato-experto.
Su modelo de resolución aborda las siguientes fases:
1. Análisis
2. Exploración
3. Comprobación de la solución
1. Análisis del problema.
Tres estrategias nos ayudan:
a) Trazar un diagrama, si es posible.
b) Examinar casos particulares, y para ello:
Elegir valores especiales que sirvan para ejemplificar el problema
Examinar casos límites, para explorar la gama de posibilidades.
Asignar a los parámetros valores y buscar una pauta inductiva.
c) Probar a simplificar el problema:
• sacando partido de posibles simetrías, o
• mediante razonamientos sin perdida de generalidad (incluidos los cambios de escala).
2. Exploración
Nos plantea tres posibles estrategias de exploración del problema:
1ª Examinar problemas esencialmente equivalentes. Con varios métodos:
a) Por sustitución de las condiciones por otras equivalentes.
b) Por recombinación de los elementos del problema de distintos modos.
c) Introduciendo elementos auxiliares.
d) Replanteando el problema mediante:
- El cambio de perspectiva o notación.
- Considerando el razonamiento por contradicción.
- Suponiendo que se dispone de una solución y determinando cuáles serían sus
propiedades.
2ª Examinar problemas ligeramente modificados. También con varios métodos:
a) Eligiendo subobjetivos (por satisfacción parcial de las condiciones).
b) Relajando una condición y tratando de volverla a imponer.
c) Descomponiendo el problema en casos y estudiando caso por caso.
3ª Examinar problemas ampliamente modificados. Para ello podemos:
a) Construir problemas análogos con menos variables.
b) Mantener fijas todas las variables menos una, para determinar qué efectos tiene
esa variable.
c)Tratar de sacar partido de problemas afines que tengan parecida forma, datos o
conclusiones
3. Comprobación de la solución obtenida
Hemos de responder a cuestiones como:
a) ¿Verifica la solución obtenida los siguientes criterios específicos?
¿Utiliza todos los datos pertinentes?
¿Esta acorde con predicciones o estimaciones razonables?
¿Resiste a ensayos de simetría, análisis dimensional o cambio de escala?
b) ¿Verifica los criterios generales siguientes?
¿Es posible obtener la solución por otro metido?
¿Puede quedar concretada en casos particulares?
¿Es posible reducirla a resultados conocidos?¿
¿Es posible utilizarla para generar algo ya conocido?
3. Las estrategias de Kantowsky
Por último, Kantowsky (1980 citado en Alsina) propone los siguientes procesos heurísticos
que se pueden emplear en un proceso de solución de problemas matemáticos
1. Dibujar un diagrama (figura, esquema, tabla).
2. Examinar un caso especial.
3. Identificar lo que se busca y lo que se da.
4. Identificar información relevante e irrelevante (examinar toda la información dada).
5. Trabajar hacia adelante desde el principio con la información dada.
6. Trabajar hacia atrás desde la conclusión.
7. Buscar un patrón o encontrar una generalización.
8. Buscar un problema relacionado (énfasis en estructura similar).
9. Buscar un teorema, definición, operación o algoritmo que se aplique al problema.
10. Resolver parte del problema.
11. Verificar la solución.
12. Examinar si existe otra manera de encontrar la solución (soluciones alternas).
13. Examinar si se puede obtener otra solución (originalidad), y
14. Estudiar el proceso de resolución.
4. Estrategias para motivar, para crear un “buen clima”
El Departamento de Educación del Estado de California (1985) propuso las siguientes
sugerencias para el manejo por parte del profesorado de las actividades de resolución de
problemas con el propósito de que el alumnado pueda desarrollar un pensamiento
matemático necesario. Actualmente son muy válidas:
• Adapte su actitud a un comportamiento de resolución de problemas en el que usted
explora y experimenta con los estudiantes.
• Cree una atmósfera de clase en la que los estudiantes se sientan cómodos al proponer
y probar (en el sentido de intentar) ideas.
• Invite a sus estudiantes a que expliquen su pensamiento en todas las etapas de la
resolución de problemas.
• Sea abierto a la posibilidad de que un problema dado pueda requerir más de una
estrategia y que algunos problemas puedan requerir aproximaciones originales.
• Presente situaciones problemáticas que se parezcan, en su riqueza y complejidad, a
situaciones reales, de tal forma que la experiencia que los estudiantes obtengan en clase
puede ser transferidas a otros contextos.
BIBLIOGRAFÍA ESPECÍFICA
1. Alsina, Y. (1990). La resolución de problemas matemáticos por estudiantes mexicanonorteamericanas,
Educación Matemática, 2
2. Bonilla, G. (1991). Métodos prácticos de inferencia estadística. Editorial Trillas.
3. De Guzmán, M. (2006). Para pensar mejor. Desarrollo de la creatividad a través de los
procesos matemáticos. Ed. Pirámide. Madrid.
4. De la Vega, M. (1984). Introducción a la psicología cognitiva, Alianza, Madrid.
5. Dijkstra, S. (1991). Instructional Design Models and the Representation of Knowledge
and I kills, Educational Technology, 31.
6. Gagné, E. (1991). La psicología cognitiva del aprendizaje escolar, Visor, Madrid.
7. Glover, J. A.; Ronning, R. R. y Bruning, R. H. (1990). Cognitive Psychology for
Teachers. Macmillan Publishing Company.
8. Goldstein, K. L. y Blackman, S. (1978). Cognitive Style. John Wiley and Sons: E.U.A.
9. Hernández Sampieri, R. y otros. (1996). Metodología de la Investigación. Editorial Mc.
Graw Hill. México.
10. Langford, P. (1990). El desarrollo del pensamiento conceptual en la Escuela
Secundaria, Paidós. MEC (col. Temas de Educación), Barcelona.
11. Maris, V. S. (1990). Rendimiento escolar, estilos cognitivos y pensamiento formal,
Revista Española de Pedagogía, 48.
12. Monereo, C.; Castelló, M.; Clariana, M.; Palma, M.; Pérez, M. L., (1998). Estrategias
de enseñanza y aprendizaje. Formación del profesorado y aplicación en el aula, Grao,
Barcelona.
13. Marzano, R. (1997), Dimensiones del aprendizaje, Iteso, Guadalajara.
14. Niaz, M. (1987). Estilo cognitivo y su importancia para la enseñanza de las ciencias.
Enseñanza de las Ciencias.
15. Nickerson, R.; Perkins, D.; Smith, E. (1985), Enseñar a pensar, Paidós, Barcelona.
16. Nisbet, J. y Shucksmith, J. (1986), Estrategias de aprendizaje, Santillana, Madrid.
17. Presley, M.; Harris, K.; Marks, M. B. (1992), "But good strategy instructors are
constructivists!", Educational Psichology Review, vol. 4, núm. 1.
18. Parra, B., (1990) "Dos concepciones de resolución de problemas", Revista Educación
Matemática, vol. 2, núm. 3,
— (1991) "La resolución de problemas en la construcción de esquemas de razonamiento",
Revista Educación Matemática, vol. 3, núm. 1.
19. Polya, G. (1984), Cómo plantear y resolver problemas, Trillas, México.
20. Pozo Municio, J.R. y otros (1997), La solución de problemas. Editorial Santillana.
Madrid
21. Resnick, L. B., Y Ford, W. W. (1990), La enseñanza de las matemáticas y sus
fundamentos psicológicos. Paidos. México
22. Santos, L. M. (1992), "Resolución de problemas: el trabajo de Alan Schoenfeld: una
propuesta a considerar en el aprendizaje de las matemáticas", Revista Matemática
Educativa, vol. 4, núm. 2.
23. Schoenfeld, A. (1983), Problem Solving in Mathematics Curriculum. The
Mathematical Association of America. Committee on the teaching of Mathematics

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